giovedì 28 ottobre 2010

Tipi di Tao


La trattazione formale dei livelli logici gerarchici è stata compiuta da Bertand Russell e Alfred N. Whitehead nel primo decennio di questo secolo, e comparsi in forma definitiva nel 1910 nel monumentale lavoro di logica matematica col titolo di "Principia Mathematica".
Uno degli scopi principali di questo lavoro era preservare la logica classica dall'azione dei paradossi e antinomie. L'esempio più semplice di paradosso è del tipo:
"Questa affermazione è falsa"
Se l'affermazione è vera allora è falsa, se è falsa allora è vera.
Esaminando la struttura logica di questo enunciato si nota come abbia due caratteristiche contemporaneamente valide:
  • L'enunciato è autoreferenziale, ovvero si riferisce a se stesso. Ad esempio l'affermazione "questa mela è rossa" non è paradossale, un enunciato non è una mela, pur potendo essere vero o falso a seconda che la mela sia rossa o no.
  • L'enunciato ha la struttura logica del tipo "affermazione di una negazione" o -ugualmente- "negazione di una affermazione", ed essendo autoreferenziale nega se stesso. Ad esempio l'enunciato "questa affermazione è vera" non è paradossale, se è vero è vero e se è falso è falso.
Nella logica classica aristoteliana  una tale situazione è devastante, ed è stabilita dal principio di non contraddizione, il quale afferma la falsità di ogni proposizione implicante che una certa proposizione A e la sua negazione, cioè la proposizione non-A, siano entrambe vere allo stesso tempo e nello stesso modo. Secondo le parole di Aristotele (Metafisica):


« È impossibile che il medesimo attributo, nel medesimo tempo, appartenga e non appartenga al medesimo oggetto e sotto il medesimo riguardo»
Per tentare di preservare la logica classica dai problemi logici paradossali  autoreferenziali Russell e Whitehead assegnarono ai livelli logici gerarchici, da loro denominati "tipi logici" particolari regole, instaurando una gerarchia di tipi logici che non può essere infranta, in particolare la regola per cui gli oggetti (elementi) di una classe (insieme) sono di un tipo logico inferiore rispetto alla classe e, per impedire la formazione di paradossi, che una classe non può avere come membro se stessa, ovvero che qualunque cosa presupponga tutti gli elementi di una collezione non deve essere un termine della collezione stessa.
Con questa divisione dei livelli-tipi logici su due piani diversi, uno per la classe e l'altro per i suoi elementi, insieme alla regola di impedire collegamenti logici tra i due piani, Russell e Whitehead intendevano impedire la formazione dei paradossi in logica. Con questa suddivisione e regola logiche le classi ad "auto-ingerimento" autoreferenziali, in cui un elemento della classe è la classe stessa, diventano prive di significato e validità logica.
Una classe di classi , cioè una metaclasse, non è propriamente una classe, ad esempio dire che l’insieme di tutti i concetti è esso stesso un concetto è privo di significato dato che è un ‘concetto’ di un tipo logico superiore. Quindi una classe è di tipo logico diverso, superiore a quello dei suoi membri, ad esempio un nome non è la cosa nominata ma è di tipo logico diverso, superiore a quello della cosa nominata. Le componenti di una gerarchia russelliana stanno tra di loro come un elemento stà a una classe, una classe stà a una classe di classi o una cosa stà al proprio nome.


L’opera di sistematizzazione formale e di fondazione logica dei Principia Mathematica poneva la possibilità di costituire un unico sistema logico-formale che ricomprendesse e organizzasse tutta la matematica, e quindi la fisica. La visione di fondo era quella romantica dovuta al successo della fisica classica, cioè che l'Universo fosse un sistema estremamente complicato ma interamente descrivibile se la logica e la matematica alla base della fisica fossero state complete come sistema formale di descrizione del livello fisico.
Si poneva dunque la questione della completezza e della coerenza di tale sistema; esso è completo se tutti gli enunciati veri della matematica sono derivabili (‘ottenibili’ e ‘dimostrabili’) al suo interno; è coerente, o non-contraddittorio, se non possono derivarsi al suo interno enunciati contraddittori, vale a dire una proposizione e la sua negazione. Una questione di questo tipo rientra nella metamatematica, poiché è un’indagine matematica sulla matematica.
A questo scopo D.Hilbert lanciò il cosidetto "programma hilbertiano" negli anni 20: dimostrare la completezza e la coerenza dei PM, ovvero il tentativo di assiomatizzazione della matematica. I punti principali erano:
  • Formalizzazione di tutta la matematica: tutte le proposizioni matematiche dovrebbero essere scritte in un linguaggio formale preciso, e manipolato secondo regole ben definite.
  • Completezza: la prova che tutte le dichiarazioni matematicamente vere possono essere provate nel formalismo.
  • Consistenza: una prova che nessuna contraddizione può essere ottenuta nel formalismo della matematica. Questa prova di coerenza deve utilizzare preferibilmente solo metodi "finitistici" circa oggetti matematici finiti.
  • Conservazione: una prova che tutti i risultati di "oggetti reali", ottenuta usando il ragionamento su "oggetti ideali" (come insiemi non numerabili) può essere provato senza l'utilizzo di oggetti ideali.
  •  Decidibilità: ci dovrebbe essere un algoritmo per decidere la verità o falsità di qualsiasi proposizione matematica.



Il monumentale tentativo di Russell e Whitehead di salvare la logica classica e il programma hilbertiano che ne seguì  furono letteralmente spazzati via per sempre dal lavoro di Kurt Gödel nel 1931, in particolare i due teoremi di incompletezza, non a caso intitolati  "Sulle proposizioni formalmente indecidibili dei Principia Mathematica e sistemi affini", che dimostrano come una costruzione assiomatica non può soddisfare contemporaneamente le proprietà di coerenza e completezza e che  nessun sistema coerente può essere utilizzato per dimostrare la sua stessa coerenza.
Negli stessi anni lo sviluppo della fisica quantistica e relativistica poneva definitivamente fine all'idea che la formalizzazione completa dell'Universo fisico, insieme alle sue basi logiche, fosse possibile.

Il lavoro di Russell e Whitehead ha oramai un'importanza di tipo storico, tuttavia i paradossi e le situazioni paradossali esistono, oltre che nella logica, anche nella vita. Il suo utilizzo è stato, inaspettatamente, nell'ambito della descrizione dell'interazione e comunicazione animale ed umana da parte di Gregory Bateson. Nelle sue parole:

"Quello che Russell e Whitehead affrontavano era un problema molto astratto: la logica, nella quale essi credevano, doveva essere salvata dai grovigli che nascono quando i "tipi logici", come li chiamava Russell, vengono bistrattati nella loro rappresentazione matematica.
Non so se, mentre lavoravano ai "Principia", Russell e Whitehead avessero idea che l'oggetto del loro interesse è essenziale per la vita degli esseri umani e degli altri organismi.
Di certo Whitehead sapeva che giocherellando con i tipi ci si può divertire e si può farne scaturire l'umorismo. Ma dubito che egli abbia mai superato la fase del divertimento e sia giunto a capire che il gioco non era insignificante e che avrebbe gettato luce sull'intera biologia.
Pur di non dover contemplare la natura dei dilemmi umani che sarebbero stati svelati si evitò - forse inconsciamente - di arrivare a una comprensione più generale."




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